y-xグラフからy-tグラフを書く

こんな波のグラフの問題,見たことありませんか?

この「y-xグラフが与えられていて,それをもとに y-tグラフを書く」というタイプの問題。 物理基礎の波の中でも,特によくわからないと評判(?)です。 今回はこのタイプの問題へのアプローチの仕方を伝授しましょう!!

波のグラフを書くのに必要な情報を集める

よくわからない問題に出会ったとき,思考停止して諦めるのではなく,シンプルに考えましょう。 今回はグラフを書けと言われているので,どうしたらグラフが書けるのかを考えます。

たとえば1次関数のグラフを書け,と言われたら,形は直線と分かっているので,あとは傾きと切片が分かれば書くことができます。

2次関数のグラフなら,形は放物線と分かっているので,あとは頂点の座標と,上に凸か下に凸かが分かれば書くことができます。

で,今回書けと言われているのは波のy-tグラフ。 まず,y-tグラフの形は正弦波であることが分かっています。

波のグラフ 〜y-tグラフ〜時刻 t を固定すると波のy-x グラフが得られます。しかし,固定する変数は t じゃなくてもいいわけで,x の方を固定したらグラフはどうなるんだ,というのが今回のテーマです。...

グラフの形が分かっているので,あとは「山の高さ(=振幅)」,「山と山の距離(=周期)」,「通る点」さえ分かれば,グラフが完成します!


問題文のここを見ろ!!

では,①山の高さ,②山と山の距離,③通る点をそれぞれ求めていきます。 どの問題もそうですが,問題文はしっかり読みましょう。

①〜③を求めるのに注目すべき箇所は

ではひとつずつ見ていきます。 まず,①山の高さですが,波のグラフにおける山の高さとは振幅のことです。

振幅はy-tグラフでもy-xグラフでも共通なので,与えられたy-xグラフの振幅を読み取って,それをそのままy-tグラフの振幅として使います。

次に,②山と山の距離ですが,これは①と違って,y-xグラフの山と山の距離を読み取って,それをそのまま使う」ということはできません!

なぜなら,y-xグラフの山と山の距離=波長なのに対し,y-tグラフの山と山の距離=周期だからです。

つまり,y-tグラフを書くためには波長ではなく周期が必要ですが,問題文には書いてありません。 書いてなければ,求めるまでです。 そう,「波の基本式」ですね!

これで周期が求められました。

最後に,③通る点です。 このタイプの問題は,問題文に必ずx=◯◯での振動の様子を〜」と書いてあるので,そこに注目します。

問題文で指定されたxにおけるグラフのy座標(波の高さ)を読み取りましょう。 今回の問題は「x=0mでの〜」とあります。

今回与えられたグラフでは,x=0mでの波の高さはy=2.0mです。

さらにもうひとつ,問題文で注目すべき箇所があります。 それは,「時刻 t=◯◯での波形〜」という部分。 y-xグラフとは波の “写真” のことでした。

波のグラフ 〜y-xグラフ〜波のグラフはこれまで数学で習ってきたようないわゆる「普通の」グラフとは異なる点があるため,一筋縄ではいきません。物理基礎の波の分野の最初の関門です。...

問題文の t=◯◯とは,カメラのシャッターを押した時刻です。 この情報がなければ y-tグラフは書けません。 今回は時刻 t=0sとあります。

先ほどの座標の情報と合わせると,この問題文とグラフからは「時刻 t=0sのとき,x=0mでの波の高さは y=2.0m」という情報が読み取れます。

ただ,私たちが書きたいのは y-tグラフなので,xに関する情報は消しちゃいましょう。 すると,「時刻 t=0sのとき,波の高さはy=2.0m」となります。 これが y-tグラフの通る点です!

以上をまとめると,答えは,

となります。


もう1つの例題

上で学んだことをもとに,もう1問やってみましょう。

先ほどと同じ設定ですが,x=◯◯の部分を変えてあります。

さっきと同じやり方で必要な情報を読み取っていくと,

①山の高さ(振幅)→ 2.0m

②山と山の距離(周期)→ 2.0s

③通る点 → 時刻 t=0sのとき, y=0m

となりますが,今回はこれだけではグラフが書けません!!

なぜなら上の条件を満たすグラフは1つではないからです。

最初にやった例題のように,通る点が山(or 谷)ならそのままグラフが書けますが,今回のように通る点が真ん中(y=0)にある場合は,通る点(0,0)から,次の瞬間,グラフが上に行くのか,下に行くのかが今の段階ではわからないのです。

これは1つのアイデアで解決できるのですが,なにか分かりますか?

時刻 t=0 の次の瞬間の動きを何とかして見極められればいいのですが…

前回の補講↓を思い出してください。

波のグラフと媒質の速度波のグラフから,数値(振幅や波長など)ではなく,「媒質の動き」を読み取ってみましょう。...

そこで学んだ,「グラフを進行方向に少しずらす」という方法を使えばうまくいきそうじゃないですか?

実際にやってみましょう。 今回は x=3.0mにおける y-tグラフを書きたいので,問題文で与えられたグラフを進行方向に少しずらします(問題文の進行方向はこのために書いてある!)。

図の通り,x=3.0mの地点にある媒質は次の瞬間下に動くことが分かります。

よって,正解のy-tグラフは,

となります!!

今回のまとめノート


説明は長くなってしまいましたが,問題文の見るべきポイントを押さえれば,問題を解くのにそれほど時間はかからないはず。 忘れないうちに復習してくださいね!