速度と加速度 〜平均と瞬間〜

小学校の算数の時間を思い出しましょう!

「Aさんは12時に家を出て,家から800m離れた郵便局に向かったところ,12時10分に着きました。Aさんの歩く速さは分速何mですか。」

 

こういう問題たくさん解いたことでしょう。計算は簡単ですね。

Aさんの速さ = 800m ÷ 10分 = 80m/分になります。 

 

  

平均という考え  

いや,問題大アリです!!!!笑

人が移動するとき,ずーっと同じ速さというのはちょっと考えにくいですよね。

現実的に考えれば,郵便局に行く途中,信号で止まったり、疲れたからゆっくり歩いたり,速さは変化するのが自然です。

(屁理屈? いや,現実はそうですよね)

 

それなのに上の計算ではそういうことを一切考慮せず,単純に「全体の移動距離」と「かかった時間」だけで速さを求めています。

つまりこれは,Aさんが「一定の速さで歩いていたとしたら,分速80mである」ということを言っているに過ぎません。

これを物理では「平均の速さ」と呼びます。

(さらに向きがついていれば,「平均の速度」です)

80m/分で歩いているからといって,1分ごとに本当に80mずつ進んでいるわけではありません。

これが「平均」 という考え方です。

 

しかし物理では,「一定の速さだとしたら」という仮定ではなく,「実際に速さがどう変化したのか」が大事になってきます。

それには「12時5分のときのAさんの速さ」,「12時6分のときのAさんの速さ」というように,より正確な「ある時刻での速さ」の情報が必要になります。

これを,その時刻における「瞬間の速さ」と呼びます。

(くどいですが,向きがついていれば「瞬間の速度」です)

では,瞬間の速さはどのようにして求めればよいでしょうか。

 

 

瞬間を求めるにはどうすべきか

平均の速さの問題点は,速さを求めるのに用いる時間が長すぎるということです!!

さっきの問題では10分間でしたが,そりゃ10分もあれば途中で速さが変化して当然です。

 

そこで!瞬間の速さを求めるときには,時間間隔を短くします!!

例えば,12時5分での瞬間の速さを知りたかったら,12時5分から12時5分1秒の間に進んだ距離を用いて速さを出す,といった具合。 

「12時5分から12時5分1秒の間の速さ」はこれはもう,「12時5分での速さ」と言ってほぼ差し支えないでしょう。

1秒ではまだ長いというなら,もっと短くとりましょう。

1秒より0.1秒,0.1秒より0.01秒,… と,時間間隔は短ければ短いほど,瞬間の速さはより正確になります。

これだけ短いと速さが変化する隙がないですもんね。

 

まとめると,「平均の速さ」と「瞬間の速さ」のちがいは,「速さ = 距離 ÷ 時間」の「時間」が長いか短いかのちがいです。

計算の仕方が変わるわけではないので安心してくださいね!

 

グラフで見る「平均」と「瞬間」のちがい  

平均の速度と瞬間の速度のちがいをグラフで確認しましょう!

速度は,x-tグラフの傾きで表されるのでした。 

www.yukimura-physics.com

ひとつ補足しておくと,xが移動距離ならば,傾きは必ず正になるので,「速さ」を表しているといえます。

 

一方,xが変位ならば,傾きは負にもなりえます。

この場合マイナスは向きを表していて,この場合の傾きは速さではなく「速度」を表しています。

(第2講の段階ではまだ変位を説明していなかったので,この説明が抜け落ちています。)

 

話を戻しましょう。

この先,xは変位を表します。

等速でなく,途中で速度が変化する場合は,x-tグラフは直線のグラフになりません。

この場合、平均の速度は下図のようになります。

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点Aでの瞬間の速度はどうなるでしょうか? 

瞬間を求めるには,AとBの時間間隔を短くすればいいので,図の点Bをグラフに沿ってどんどんAに近づけていきます。 

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AとBを通る直線が,点Aでの接線に近づいていく様子がイメージできましたか?

ある時刻における瞬間の速度は,x-tグラフの,「その時刻における接線の傾き」になります。

 

加速度の場合 

加速度にも「平均の加速度」と「瞬間の加速度」が存在します。 

これは難しい話ではなくて,いまの「平均の速さ」と「瞬間の速さ」の話をそっくりそのまま加速度に替えただけです。

つまり,「加速度 = 速度変化 ÷ 時間」ですが,その「時間」が長ければ,平均の加速度,短ければ,瞬間の加速度になります。

 

また,加速度が変化する運動では,ある時刻とある時刻の間の平均の加速度は,v-tグラフでその2点を結んだ直線の傾き,ある時刻での瞬間の加速度は,v-tグラフのその時刻での接線の傾きになります。

 

今回のまとめノート

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今回,「平均」と「瞬間」について学びましたが,今後記事の中で「速度」,「加速度」と言った場合,特に断りがなければ「瞬間の」ほうを指すものとします!