【演習】近似計算-高校物理をあきらめる前に

物理の道標『近似計算』の講義内容に関連する演習問題です。講義編を未読の方は問題を解く前にご一読ください。

Contents

問題

以下の問題では，次の近似式を利用せよ。
・微小量の2乗≒0
・|x|≪1のとき，(1+x)ⁿ≒1+nx

[Level.1]
|x|≪1とし，次の式をxの１次式に近似せよ。
（ア） $(1+x)^4$
（イ） $(1-x)^6$
（ウ） $\sqrt{1+x}$
（エ） $\frac{1}{(1+x)^3}$
（オ） $\frac{1}{\sqrt[n]{1+x}}$ （nは自然数）

[Level.2]
bがaに比べて非常に小さい場合，(a+b)²の近似として正しいものは次のうちどれか。
（a）a+b²
（b）a+2b
（c）a²+ab
（d）a²+2ab

[Level.3]
x-yがxやyに比べて十分に小さいとき， $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\fallingdotseq \frac{2}{xy}$ と近似できることを示せ。

この下に答えを載せていますが，まずは自力で考えてみましょう。

[Level.1]
（ア） $1+4x$
（イ） $1-6x$
（ウ） $1+\frac{1}{2}x$
（エ） $1-3x$
（オ） $1-\frac{1}{n}x$

[Level.2]
（d）

[Level.3]
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}+\frac{2}{xy}$ と式変形し，第1項を通分すると微小量の2乗になるので，第2項だけが残る。

（※ 解説は現在準備中。）