物理の道標

【演習】近似計算

物理の道標『近似計算』の講義内容に関連する演習問題です。 講義編を未読の方は問題を解く前にご一読ください。

近似計算物理の問題を解いているとたまに遭遇する近似計算。「どうしてその近似が成り立つかわからないけど,とりあえず指示に従って計算しとくか」という人も多いのでは?...
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問題

以下の問題では,次の近似式を利用せよ。
・微小量の2乗≒0
・|x|≪1のとき,(1+x)n≒1+nx

[Level.1]
|x|≪1とし,次の式をxの1次式に近似せよ。
(ア)\((1+x)^4\)
(イ)\((1-x)^6\)
(ウ)\(\sqrt{1+x}\)
(エ)\(\frac{1}{(1+x)^3}\)
(オ)\(\frac{1}{\sqrt[n]{1+x}}\)(nは自然数)

[Level.2]
baに比べて非常に小さい場合,(a+b)2の近似として正しいものは次のうちどれか。
(a)a+b2
(b)a+2b
(c)a2+ab
(d)a2+2ab

[Level.3]
x-yxyに比べて十分に小さいとき,\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ \textstyle{≒}\ \frac{2}{xy}\)と近似できることを示せ。

この下に答えを載せていますが,まずは自力で考えてみましょう。


答え

[Level.1]
(ア)\(1+4x\)
(イ)\(1-6x\)
(ウ)\(1+\frac{1}{2}x\)
(エ)\(1-3x\)
(オ)\(1-\frac{1}{n}x\)

[Level.2]
(d)

[Level.3]
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}+\frac{2}{xy}\)と式変形し,第1項を通分すると微小量の2乗になるので,第2項だけが残る。

(※ 解説は現在準備中。)