ガウスの法則

電気力線という概念は,もともとは「電場をわかりやすく絵で表す」だけのもので,それ以上でもそれ以下でもありませんでした。

数学に不慣れなファラデーが,電場を視覚的に捉えるためだけに発明したものだから当然です。

ところが,とある天才がこの電気力線に目をつけました。

「こんな便利なもの,使わない手はない!!」と。

その天才の名はガウス。

(※ 実際に数学的に表現したのはマクスウェル。どちらにしろ天才的な数学の才能の持ち主。)

 

彼は電気力線を計算に用いて,ある法則を発見します。

それが今回の主役の「ガウスの法則」

天才ファラデーに唯一欠けていた数学の力を,数学の天才が補って見つけた法則なんだからもう最強。

この法則をマスターすると,イメージだけの存在だった電気力線が電場を計算する上での強力なツールに化けます!!

 

※ あくまでも高校物理のサイトなので,ガウスの法則の「説明」はしますが,「証明」はしません。立体角や面積分を用いる証明をお求めの方は他サイトへどうぞ。

 

 

電気力線の追加ルール

ガウスの法則に入る前に,電気力線の本数について確認します。

電場が強いほど電気力線は密になるというのは以前説明した通りですが,そのときは電気力線のイメージに重点を置いていたので,「電気力線を何本書くか」という話題には触れてきませんでした。

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実は電気力線の本数には明確な決まりがあります。

それは,電場の強さがE[N/C]のところでは,1㎡あたりE本の電気力線を書く」 というものです。

以前の記事で電気力線のルールを2つ紹介しましたが,これを3つ目のルールとしましょう。

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もし電場の大きさが1000N/Cだったら,電気力線を1㎡あたり1000本書かなきゃいけないのでしょうか?

安心してください。 このルールはあくまで約束事です。

ルール通りにやるなら1㎡あたり1000本書くところですが,大変なので普通は省略して数本だけ書いて終わりにします。

逆に言えば,図に書いてある電気力線の本数は実際の本数とは異なるので注意が必要です。

 

 

電気量と電気力線

ここまでに分かったことをまとめましょう。

① 電荷があると電場が生じる。

② 電荷のもつ電気量が大きいほど電場は強い。

③ 電場が強いと単位面積あたりの電気力線の本数は増える。

 

電気量の大きさと電場の強さにはある関係(②)があって,電場の強さと電気力線の本数にも関係(③)がある…

ということは,電気量の大きさと電気力線の本数も何らかの形で関係しているのではないかと予想できます! 

 

電気力線の総本数を求める

電気量の大きさと電気力線の本数の関係は,実はこれまでに学んできた知識から導くことが可能です!

 

空間にQ[C]の点電荷を置きます。

点電荷はまわりに電場を作るので,電気力線が書けます。

Qが正なら点電荷から出る方向,Qが負なら点電荷に入る方向)

 

 

問題は Q[C]の点電荷から何本の電気力線が出ているかです。

Step1として,まずは1㎡あたりの本数を調べましょう。

公式を使って電場の強さを求めればOKですね!

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次にStep2。

Step1では1㎡という限られた面積を通る電気力線の本数しか調べませんでしたが,電気力線は点電荷を中心に全方向に伸びています。

全部の本数を数えるために点電荷から r[m]のところを囲みましょう(実際に囲むのではなく,見えない壁で囲む様子を想像してください)。

もちろん半径 r の球で囲まれることになります。

あとはStep1の結果を用いて計算するだけ。

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Q[C]の点電荷から出る(または入る)電気力線の本数は全部で4πk|Q|本と判明しました!

 

ガウスの法則の真価

結論だけ述べると,ガウスの法則とは,Q[C]の電荷から出る(または入る)電気力線の総本数は4πk|Q|本である。」というものです。

上の説明では点電荷で計算しましたが,「点電荷じゃなくても成り立つ」ことが,この法則の大きなポイントです。

(点電荷以外でも成り立つことを証明するには高校数学だけでは足りないので証明は省きます。いまは結論だけが重要。)

 

上では電場の大きさから電気力線の総本数を求めましたが,逆に電気力線の総本数が分かれば,逆算することで電場の大きさを求めることができます。

その電気力線の総本数を教えてくれるのがガウスの法則なのです!

 

次回以降,話は点電荷から平面電荷(帯電した薄い板のこと)に移ります。

学校の授業でも点電荷から話が急に変わって面食らう人が多いですが,ガウスの法則がこれまで学んできた点電荷と,これから学ぶ平面電荷のつなぐ架け橋になります。

 

今回のまとめノート

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次回予告

これまで電気回路には電源の他には抵抗しかつなぐものがありませんでしたが,次回は新アイテム「コンデンサー」を導入します!

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