力学

力学的エネルギー保存の法則

今回はいよいよエネルギーを使って計算をします!

大事な内容なので気合を入れて書いたら,めちゃくちゃ長くなってしまいました(^o^;  時間をたっぷりとって読んでください。

力学的エネルギーとは

前回までに運動エネルギーと位置エネルギーについて学びました。 運動している物体は運動エネルギーをもち,基準から離れた物体は位置エネルギーをもちます。

そうすると例えば「高いところを運動する物体」は運動エネルギーと位置エネルギーを両方もちます。 こういう場合に,運動エネルギーと位置エネルギーを一緒にして扱ってしまおう!というのが力学的エネルギーの考え方です!

「一緒にする」というのはそのまんまの意味で,力学的エネルギー = 運動エネルギー + 位置エネルギーです。 なんのひねりもなく,ただ足すだけ(笑)

つまり,力学的エネルギーを求めなさいと言われたら,運動エネルギーと位置エネルギーをそれぞれ前回までにやった公式を使って求めて,それらを足せばOKです。

力学では,運動エネルギー,位置エネルギーを単独で用いることはほぼありません。 それらを足した力学的エネルギーを扱うのが普通です。


【例】自由落下

力学的エネルギーを考えるメリットは何かというと,それはズバリ「力学的エネルギー保存則」でしょう!(保存の法則は「保存則」と略すことが多い)

と,その前に。 力学的エネルギーは本当に保存するのでしょうか? 自由落下を例にとって説明します。

まず,位置エネルギーが100Jの地点から物体を落下させます(自由落下は初速度が0なので,運動エネルギーも0)。

物体が落下すると,高さが減っていくので,そのぶん位置エネルギーも減少することになります。

ここで「エネルギー = 仕事をする能力」だったことを思い出してください。 仕事をすればエネルギーは減るし,逆に仕事をされれば,その分エネルギーが蓄えられます。

上の図だと位置エネルギーが100Jから20Jまで減っていますが,減った80Jは仕事に使われたことになります。

今回仕事をしたのは明らかに重力ですね! 重力が,高いところにある物体を低いところまで移動させています。

この重力のした仕事が位置エネルギーの減少分,つまり80Jになります。

一方,物体は仕事をされた分だけエネルギーを蓄えます。 初速度0だったのが,落下によって速さが増えているので,運動エネルギーとして蓄えられていることになります。

つまり,重力のする仕事を介して,位置エネルギーが運動エネルギーに変化したわけです!! いまの話を式で表すと,


ここでちょっと式をいじってみましょう。 いじるといっても,移項するだけ。

なんと,両辺ともに「運動エネルギー + 位置エネルギー」の形になっています。 力学的エネルギー突然の登場!!

保存則という切り札

上の式をよく見ると,「落下するの力学的エネルギー」と「落下したの力学的エネルギー」がイコールで結ばれています。

つまり,物体が落下して,高さや速さはどんどん変化するけど,力学的エネルギーは変わらない,ということをこの式は主張しているのです。 これこそが力学的エネルギーの保存(物理では,保存 = 変化しない,という意味)。

保存則は我々に「新しいものの見方」を教えてくれます。

なにか現象が起きたとき,「何が変わったか」ではなく,「何が変わらなかったか」に注目せよということを保存則は言っているのです。

変化とは表面的なもので,変わらないところにこそ本質が潜んでいます(これは物理に限りませんね)。

変わらないものに注目することが物理の奥義!

保存則は力学的エネルギー以外にも,今後あちこちで見かけることになります。

使う際の注意点

前置きがだいぶ長くなってしまいましたが,大事な法則なので大目に見てください。

ここで力学的エネルギー保存則をまとめておきます。

まず,この法則を使う場面について。

力学的エネルギー保存則は,「運動の中で,速さと位置が分かっている地点があるとき」に用いることができます(多くの場合,開始地点の速さと位置が与えられています)。

速さや位置が分かれば,力学的エネルギーを求められます。

そして,力学的エネルギー保存則によれば,運動している間,力学的エネルギーは変化しないので,これを利用すれば別の地点での速さや位置が得られます。

あとで実際に例題を使って計算してみましょう!

例題の前に,注意点をひとつ。「保存則」と言われると,どうしても「保存する」という結論ばかりに目が行ってしまいがちですが,

なんでもかんでも力学的エネルギーが保存すると思ったら大間違い!!

物理法則は多くの場合「◯◯のとき,☓☓が成り立つ」という「条件 → 結論」という格好をしています。 結論も大事ですが,条件を見落としてはいけません。

今回も「物体に保存力だけが仕事をするとき〜」という条件がついていますね? これが超大事です!

非保存力が仕事をする場合,力学的エネルギーは残念ながら保存しません(保存力,非保存力という名前はここから来ている)。

摩擦があったり,誰かが押したりしたらアウトです。 問題を解く場合はこの点もよく注意してください。

※ 非保存力があっても,物体に仕事をしなければOK。

垂直抗力や,振り子の張力などは非保存力ですが仕事はしていない(運動に対して垂直だから)ので,この場合,力学的エネルギーは問題なく保存します。


例題

実際に問題を解いて,保存則をマスターしましょう。

自由落下の問題です。 この問題は等加速度運動の公式③でも解けますが,自由落下する直前の速さ(もちろん0m/s)と地面からの高さが分かっているので,今回は力学的エネルギー保存則で解いてみましょう。

力学的エネルギー保存則を使う際は,まず,速さと位置が分かっている箇所と求めたい値がある箇所のそれぞれで力学的エネルギーを計算します。

今回は,速さと位置が分かっている箇所は落下前,求めたい箇所は地面直前。

エネルギーを求めるとき,慣れないうちは表を使うといいでしょう。

まず,求めたい値は文字でおいておきます。 それから以前やった公式を用いて,位置エネルギーや運動エネルギーを求めて表を埋めていきます。 今回のように,エネルギーが0になる部分があると,計算は比較的簡単です。

あとは力学的エネルギーどうしをイコールで結んでvを求めるだけですが,さきほどの注意点「非保存力が仕事をしていないかどうか」は必ず確認してください。

非保存力が仕事をするとエネルギーが保存しないのでイコールで結べません!!

今回の問題ははたらいている力は重力だけなので,問題ナシですね!

運動エネルギーや位置エネルギー,保存力などで不安な部分がある人は今のうちに復習しましょう。 問題がなければ次の問題へGO!

次は弾性力による位置エネルギーが含まれる問題です。

まず非保存力が仕事をしていないかチェックします。 小球にはたらく力は弾性力,重力,レールからの垂直抗力です(問題文にレールはなめらかと書いてあるので摩擦はありません)。

弾性力と重力は保存力なのでOK,垂直抗力は非保存力ですが仕事をしないのでOK。 よって,この問も力学的エネルギー保存則が使えます!

この問題のポイントは「ばね」です。 ばねが登場する場合は,弾性力による位置エネルギーも考慮して力学的エネルギーを求めなければなりませんが,ばねだからといって特別なことは何もありません。 どんな位置エネルギーでも,運動エネルギーと足せば力学的エネルギーになります。

まずエネルギーの表を作ってみましょう!

問題の中で位置エネルギーの基準は指定されていないので,自分で決める必要があります。

ばねがあるために,表の列がひとつ増えていますが,それ以外はさっきと同じ。 ここまで書ければあとは力学的エネルギーを比べるだけ!


これが力学的エネルギー保存則を用いた問題の解き方です。

まずやるべきことはエネルギーの公式をちゃんと覚えて,エネルギーの表を自力で埋められるようにすること。 そうすれば絶対に解けるはずです!

最後におまけの問題。

問2の解答では重力による位置エネルギーの基準を「小球が最初にある位置」にしていますが,基準を別の場所に取り替えたらどうなるのでしょうか?

Aの地点を基準にして問2を解き直てみてください。



では,解答を見てみましょう。

このように,基準を取り替えても最終的に得られる答えは変わりません。 この事実があるからこそ,位置エネルギーの基準は自分で自由に決めてよいのです。

今回のまとめノート


時間に余裕がある人は,ぜひ問題演習にもチャレンジしてみてください! より一層理解が深まります。

【演習】力学的エネルギー保存の法則力学的エネルギー保存の法則に関する演習問題にチャレンジ!...

次回予告

今回注意点として「非保存力が仕事をするとき,力学的エネルギーが保存しない」ことを挙げました。 保存しなかったら当然保存則で問題を解くことはできません。 お手上げなのでしょうか?

力学的エネルギーと非保存力力学的エネルギーはいつも保存するのではなく,保存力が仕事をするときだけ保存する,というのがポイントでした。裏を返せば,非保存力が仕事をする場合には保存しないということ。保存しない場合は計算できないのでしょうか?...