ロト6・ロト7と条件付き確率

ときどき気が向いたときに宝くじを買うことがあるんですが,

 

個人的に好きなのはロト6やロト7です。

 

普通の宝くじは番号を書いた紙が渡される(=自分で選べない)けど,

 

ロトは自分で番号が選べるのがいいですね。

 

 

さて,書店やネットには「当たる番号はコレ!!」みたいな

 

情報が溢れかえっています。

 

私は当然そんなものアテにしていませんが,見てみると,

 

これまでのデータから,出やすい(出にくい)番号を算出しているようです。

 

ここで,確率論に基づいて,本当に出やすい(出にくい)番号というものが

 

あるのかどうか考えてみましょう。

http://pictogram2.com/p/p0147/4.png

 

 

ポイントになるのが,次の問題。

 

「コインを3回投げる。最初の2回はともに表が出た。

3回目も表が出る確率を求めよ。」

 

これは確率(数学)が苦手な人が直感で答えようとすると,

 

案外悩んでしまう問題です。

 

「2回連続で表が出たんだから,そろそろ裏が出てもいいんじゃないか」

 

とか考えてしまう人,いませんか?

 

(数学の問題とすると正しい答えが出せるのに,いざ本当にその場面になると

このように考えてしまう人も多いです)

 

あるいは,コインの表が出る確率は1/2だから,

 

それが3回連続で出る確率は1/2 ✕ 1/2 ✕ 1/2 = 1/8,

 

と答えてしまう人もいますね。

 

ロトの当たり番号も結局はこの問題と同じです。

 

 

さて,この問題を解決するカギは,「条件付き確率」と呼ばれるものです。

 

ここでいう「条件」とは何かというと,いまの問題だと

 

「最初の2回はともに表が出た。」という部分です!

 

もしこの条件がなければ,つまり単純に

 

「コインを3回投げる。3回目も表が出る確率を求めよ。」

 

という問題だったならば,先ほど挙げた1/2 ✕ 1/2 ✕ 1/2 = 1/8が正解です。

 

計算が苦手な人は樹形図を書いてみましょう。

 

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となって,たしかに3回連続で表の確率は1/8になります。

 

では,最初の問題「コインを3回投げる。最初の2回はともに表が出た。

 

3回目も表が出る確率を求めよ。」に戻りましょう。

 

これも樹形図で考えますが,一番のポイントは,

 

「すでに2回投げてしまった」ということ。そして,

 

「2回とも表が出た」という情報です!!

 

これをもとに樹形図を整理してみましょう。

 

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ありえない可能性に☓マークがつけられました。

 

結果,あり得る可能性は2通りで,3回目に表が出るのはそのうち1つなので,

 

この問題の答えは1/2となります。

 

 

納得できましたか?

 

条件付き確率を考える上で忘れてはいけないことは,

 

「条件が与えられると,全事象(ありうる全パターン)そのものが減る」

 

という点です。

 

いまの問題だと,コインを3回投げたときの表と裏のパターンは

 

全部で8通りですが,「最初の2回は表だった」という条件がつくことで

 

2通りにまで減ってしまいました。

 

高校生だと「条件付き確率の公式」というものを覚えて解いたりしていますが

 

「全事象が減る」というメカニズムを忘れてはいけません。

 

 

 

さて,結論です。

 

この問題の答えが1/2ということは,

 

結局1,2回目に何が出たかを考える必要はなく,

 

3回目に表が出るか裏が出るかだけを考えればいいということになります。

 

つまり,過去に何が出ていようと,その後の確率とは無関係ということです。

 

ちょっと拍子抜けかもしれませんが,前向きに考えてください。

 

この結果は,

 

「情報誌やネットにある過去の番号を基にしたデータは意味がない。

 

すなわち,あなたが適当に選んだ番号も,

 

情報誌に載っている番号も当たる確率は等しい。

 

ということです。ロトは当選人数が多いとその分賞金が減ります。

 

情報誌の番号は他の人も買っている可能性が大なので,

 

もし当たっても大した額にはなりません。

 

同じ確率なんだから,自分ひとりしか買わないような数字を買うのが得!

 

というのが今回証明されたのです。

 

 

おっと,最後に。

 

「宝くじは買わなきゃ当たらない!!」と力説する人がいますが,

 

私に言わせると「買っても当たらない!」です。

 

無理のない範囲でほどほどに楽しみましょうね♪

 

 

 

【おまけ】せっかく確率の勉強をしたので,もう1問どうですか?

 

問:Aさんには子どもが2人いる。性別を尋ねたところ,

  「片方は男の子だよ。」と教えてくれました。

  Aさんの子どもが2人とも男の子である確率を求めよ。

 

 

答えは ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

 

 

 

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